对于域 $k$ 上的多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$, 我们没有必要考虑其所有子集 $T$. 我们转而考虑由 $T$ 生成的理想

\[
J:=(T)\subset k[x_1,\ldots,x_n]
\]

由于多项式环 $k[x_1,\ldots,x_n]$ 是诺特环, 因此其每个理想都是有限生成的. 故对于 $J$, 存在有限个多项式 $f_1,\ldots,f_m\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
J=(f_1,\ldots,f_m).
\]

引理 0.1 我们有

\[
V(T)=V(J)=V(f_1,\ldots,f_m).
\]

这里 $V(T)$ 指 $T$ 的零点集, 即 $V(T):=\{P\in\mathbb{A}^n\mid f(P)=0, \forall f\in T\}$.

证明: 显然有 $V(J)\subset V(T)$, 因为 $T\subset J$.

下证: $V(T)\subset V(J)$. 任取 $P\in V(T)$, 要证 $P\in V(J)$. 也就是对任意 $g\in J$, $g(P)=0$.

由于 $J$ 是 $T$ 生成的理想, $J=(T)$ 是有限生成的. 故存在多项式 $h_1,\ldots,h_{\ell}\in T$ 以及 $q_1,\ldots,q_{\ell}\in k[x_1,\ldots,x_n]$, 使得

\[
g=h_1 q_1+\cdots+h_{\ell}q_{\ell}.
\]

由于 $P\in V(T)$, 故 $h_i(P)=0$, $i=1,\ldots,\ell$. 因此 $g(P)=0$. 说明 $P\in V(J)$.

因此, $V(T)\subset V(J)$.

Remark:

诺特环指其每个理想升链都是有限终止的.

设

\[I_1\subset I_2\subset I_3\subset\cdots\subset I_n\subset\cdots\]

是一个理想升链, 如果存在某个 $N$, 当 $n > N$ 时, $I_n=I_N$. 则称为理想升链条件. 如果一个环满足理想升链条件, 则称为诺特环.

每个理想升链都是有限终止等价于每个理想都是有限生成.

References:

Klaus Hulek 著, 胥鸣伟 译《初等代数几何》